PROPOSISI

Definisi Proposisi

Di dalam matematika, yang dimaksud dengan logika adalah suatu sistem matematika yang didasarkan pada proposisi. Logika berguna untuk melakukan penalaran matematika (mathematical reasoning) dan dalam teknik elektro berguna untuk mendesain rangkaian digital. Sistem logika matematika dibangun dari proposisi-proposisi dan operator-operator.

Proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa bernilai benar (true/T/1) atau salah (false/F/0) tetapi tidak sekaligus keduanya. Dikatakan bahwa nilai logika (truth value) dari sebuah proposisi adalah benar atau salah.

Jadi proposisi adalah sebuah pernyataan dan pernyataan adalah suatu kalimat,tetapi tidak sebaliknya,tidak semua kalimat adalah pernyataan dan tidak semua pernyataan adalah proposisi. Konsep ini akan diperjelas oleh contoh-contoh berikut.

Proposi adalah ekspresi verbal dari putusan yang berisi pengakuan atau pengingkaran sesuatu (predikat) terhadap sesuatu yang lain (subyek) yang dapat dinilai benar atau salah.

Unsur-unsur Proposisi

            Unsur-unsur proposisi antara lain:

• Term subyek = term yang menjadi pokok pembicaraan.

• Term predikat = term yang menjelaskan subjek.

• Kopula = kata yang menyatakan hubungan antara term subjek dan predikat.

Misal:

1. Semua manusia adalah makhluk yang berakal budi (A)
2. Tidak ada kucing adalah manusia (E)
3. Beberapa reptil adalah binatang berbisa (I)
4. Beberapa orang bukan manusia penipu (O)
5. A & I (Affirmo) : saya mengiyakan
6. E & O : saya menyangkal

•         Term subjek : manusia, kucing, reptil, orang

•         Term predikat : makhluk, berakal budi, binatang berbisa, manusia penipu, manusia

•         Kopula : adalah, tidak, bukan

Contoh di bawah ini adalah proposisi:

(a)Bulan terbuat dari keju

(b)4 adalah bilangan prima

(c)3 + 3 = 6

(d)2 adalah bilangan integer genap dan 3 bukan bilangan integer genap

Dibawah ini bukan proposisi:

(g)x + y >4

(h)x = 3

(i)Apakah kamu pergi ?

(j)Belikan keempatnya.

Contoh pertama adalah pernyataan tetapi bukan sebuah proposisi karena nilai kebenarannya tergantung dari nilai x dan y. Nilai kebenaran pernyataan kedua tergantung dari nilai x. Contoh (i) dan (j) bukan pernyataan dan bukan pula proposisi.

Kombinasi Proposisi

Variabel proposional menandakan proposisi bebas tanpa nilai kebenaran khusus. Kita akan menggunakan abjad P,Q,R,…untuk variabel preposisi. Proposisi dapat dikombinasikan ke bentuk pernyataan baru menggunakan kata seperti “dan”,“atau”,dan “not”. Sebagai contoh dari proposisi:

“ Edi tingginya enam kaki” dan “ ada 5 ekor sapi dalam kandang”,kita dapat membentuk

“Edit tingginya enam kaki dan ada 5 ekor sapi dalam kandang”

“Edit tingginya enam kaki atau ada 5 ekor sapi dalam kandang”

“Edit tingginya bukan enam kaki”

Dengan cara yang sama

“ P dan Q”

“P atau Q”

“bukan P”

Adalah pernyataan dimana dapat dibentuk data variabel proposional P dan Q. Dalam ekspresi seperti di atas, variabel P dan Q dinamakan operand, dan kata “dan”,”atau”,dan “bukan” dnamakan logical operators atau logical connectives. Logical connective menandakan operasi dalam proposisi sama dengan tanda “tambah” dan “kali” yang menandakan operasi pada angka. Sebagai contoh dalam aljabar ekspresi “ 4 + x” mempunyai 4 dan x sebagai operand dan + sebagai operator.

Pernyataan yang berisi sekurangnya satu proposional variabel dinamakan bentuk proposional. Saat proposisi digantikan untuk variabel dari bentuk proposional,porposisi memberikan hasil. Seperti jika P menyatakan “Edit tingginya enam kaki” dan Q menyatakan “Dua adalah bilangan prima”,bentuk proposional “ P and Q” menyatakan proposisi “Edi tingginya enam kaki dan dua adalam bilangan prima”,dan”not P” menyatakan “Salah bahwa edit tingginya enam kaki.” Ketika operator logika digunakan untuk membentuk proposisi baru dari bentuk lama,nilai kebenaran dari proposisi baru tergantung dari kedua operator logika dan nilai kebenaran dari proposisi original. Operator logika “not,” atau negasi, dinyatakan dengan simbol Misalkan P menandakan proposisi;lalu “P tidak benar” adalah proposisi dimana kita menyatakan dengan “¬P” dan merujuk pada “not P,” atau negasi dari P. Ini mengikuti hukum bahwa ¬P adalah true jika P adalah false,dan sebaliknya.

HUKUM PROPOSISI

1. P ⇔ ( P ∨ P ) idempotens dari ∨
2. P ⇔ ( P ∧ P ) idempotens dari ∧
3. ( P ∨ Q ) ⇔ ( Q ∨ P ) commutatif dari ∨
4. ( P ∧ Q ) ⇔ ( Q ∧ P ) commutatif dari ∧
5. [ ( P ∨ Q ) ∨ R ] ⇔ [ P ∨ ( Q ∨ R ) ] assosiatif dari ∨
6. [ ( P ∧ Q ) ∧ R ] ⇔ [ P ∧ ( Q ∧ R ) ] assosiatif dari ∧
7. ¬ ( P ∨ Q ) ⇔ ( ¬ P ∧ ¬ Q ) Hukum DeMorgan
8. ¬ ( P ∧ Q ) ⇔ ( ¬ P ∨ ¬ Q ) Hukum DeMorgan
9. [ P ∧ ( Q ∨ R ) ] ⇔ [ ( P ∧ Q ) ∨ ( P ∧ R ) ] Distributif dari  ∧dan ∨
10. [ P ∨ ( Q ∧ R ) ] ⇔ [ ( P ∨ Q ) ∧ ( P ∨ R ) ] Distributif dari  ∨dan ∧
11. ( P ∨ 1 ) ⇔ 1
12. ( P ∧ 1 ) ⇔ P
13. ( P ∨ 0 ) ⇔ P
14. ( P ∧ 0 ) ⇔ 0
15. ( P ∨ ¬ P ) ⇔ 1
16. ( P ∧ ¬ P ) ⇔ 0
17. P ⇔ ¬ ( ¬ P ) Negasi ganda
18. ( P ⇒ Q ) ⇔ ( ¬ P ∨ Q ) Implikasi
19. ( P ⇔ Q ) ⇔ [ ( P ⇒ Q ) ∧ ( Q ⇒ P ) ] Ekivalen
20. [ ( P ∧ Q ) ⇒ R ] ⇔ [ P ⇒ ( Q ⇒ R ) ] Eksportasi
21. [ ( P ⇒ Q ) ∧ ( P ⇒ ¬ Q ) ] ⇔ ¬ P Absurdity
22. ( P ⇒ Q ) ⇔ ( ¬ Q ⇒ ¬ P ) kontrapositif

TABEL KEBENARAN

Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.

Definisi. Misalkan p dan q adalah proposisi Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar,selain itu nilainya salah Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah,selain itu nilainya benar Negasi p,yaitu ~p,bernilai benar jika p salah,dan sebaliknya

Misalkan

p:17 adalah bilangan prima

q:bilangan prima selalu ganjil

jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi

p ^ q:17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil adalah salah.

Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan tabel kebenaran. Tabel kebenaran menampilkan hubungan antara nilai kebenaran dari proposisi atomik. Tabel 1.1 menunjukkan tabel kebenaran untuk konjungsi,disjungsi,dan ingkaran. Pada tabel tersebut,T=true(benar),dan F=false(salah).

Tabel 1.1 Tabel kebenaran konjungsi,disjungsi,dan ingkaran

p	q	p ^ q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

p	q	p  v q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

p	q
T	F
F	T

Contoh soal:Jika p,q,r adalah proposisi. Bentuklah tabel kebenaran dari ekspresi logika

(p ^ q) v (~q ^ r)

Penyelesaian:

Ada 3 buah proposisi atomic di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai,sehingga jumlah kombinasi dari semu proposisi tersebut adalah  buah. Tabel kebenaran dari proposisi (p ^ q) v (~q ^ r) ditunjukkan pada tabel 1.2.

Tabel 1.2 tabel kebenaran proposisi (p ^ q) v (~q ^ r)

P	q	r	p ^ q	~q	~q ^ r	(p ^ q) v (~q ^ r)
T	T	T	T	F	F	T
T	T	F	T	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T
T	F	F	F	T	F	F
F	T	T	F	F	F	F
F	T	F	F	F	F	F
F	F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	T	F	F

Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya,atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya. Jadi,sebuah proposisi majemuk disebut tautology jika ia benar untuk semua kasus,sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.

Yang dimaksud dengan “semua kasus” di dalam definisi si atas adalah semua kemungkinan nilai kebenaran dari proposisi atomiknya. Proposisi tautology dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat T. Proposisi kontradiksi dicirikan pada kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat F.